2．钻头数学模型与几何设计研究
2.1 钻头的数学模型
建立钻头的数学模型是对钻头进行几何设计、制造、切削性能分析和对钻削过程进行建模的基础。第一个钻头数学模型由Galloway D F于1957年提出。他推导了直线刃钻头前刀面的参数方程，给出了主刃前、后角和横刃斜角的定义、计算公式和测量方法，提出了“把钻头后刀面作为钻头在刃磨过程中与砂轮相互作用后形成的磨削锥的一部分”的观点。20世纪70年代初期，Fujii S 等人对Galloway D F提出的模型进行了进一步研究，提出采用割平面法，将三维空间曲面后刀面化为二维平面曲线进行分析，并开发了一个麻花钻计算机辅助设计程序。1972年，Armarego E J A和Rotenbery A发现：后刀面锥面刃磨法有4个独立的刃磨参数，而一般给出的钻尖几何参数只有3个，因此不能唯一确定钻尖后刀面形状和刃磨参数。为此，他们提出用后刀面尾隙角作为补充几何参数，以获得刃磨参数的唯一解。1979年，Tsai W D和Wu S M证明：锥面钻头、Racon钻头、螺旋钻头和Bickford钻头等的后刀面都可以用二次曲面来表示，并提出了表示钻头几何形状的综合数学模型，该模型可用于控制刃磨过程。1983年，Radhakrishnan L等人提出了十字钻尖钻头后刀面的一个数学模型。他们将后刀面分为第一后刀面和第二后刀面：对第一后刀面，以Tsai模型为基础，建立了一个改进的锥面模型；对第二后刀面，建立了一个平面模型。Fugelso M A则提出了圆柱面钻尖的数学模型。1985年，Fuh K H等人建立了一个用二次曲面表示的钻头后刀面数学模型，以便用计算机将其设计成椭球面、双曲面、锥面、圆柱面或它们的任意组合。
长期以来，人们一直将麻花钻的主刃设计为直线。1990年，Fugelso M A发现，由于要求锥面麻花钻的主刃为直线，使靠近钻芯处的主刃后角变得过小，如果在刃磨之前，将钻头绕自身轴线旋转5°～10°，就可以解决这一问题，只是主刃将变得微微弯曲。同年，Wang Y将主刃看作曲线，利用多项式插补方法建立了钻头螺旋前刀面的几何模型。1991年，Lin C和Cao Z提出了一种适合于直线和曲线刃，采用锥面、柱面和平面后刀面的麻花钻综合数学模型。1999年，Ren K C和Ni J提出用二项式表示任意形状的主刃曲线，钻头前刀面采用新的数学模型，并用向量分析方法，建立了二次曲面后刀面的刃磨参数与几何参数之间的关系。
2.2 钻头的结构优化
由于广泛使用的锥面麻花钻的切削性能并不理想，人们一直致力于对其结构（参数）和刃磨方法进行改进，先后提出了200多种互不相同的钻头形状，以改善其切削性能。其中，Shi H M 等人提出了通过改变主刃走向控制主刃前角分布的方法，并于1990年开发出使钻头主刃上各点前角均达到可能的最大值的曲线刃麻花钻。1987年，Lee S J在考虑钻头偏斜的条件下，以消除钻削过程中钻尖的摆动现象为目标，提出了对钻头结构进行优化设计的方法。1995年，Selvamhe S V和Sujatha C在研究麻花钻的变形时，用有限元方法对钻头几何形状进行了优化，得出的使钻头变形最小的结构参数优化值（钻头直径25mm）为：螺旋角39.776°，横刃斜角Ψ=54°～80°，锋角120°。1997年，Chen W C提出了一种特殊截形的厚钻芯麻花钻，既具有足够的扭转刚度，又具有合理的主刃和横刃前角分布。2005年，Paul A等人为确保优化钻头的可加工性，提出了一种基于刃磨参数的新钻尖模型，并用它对锥面钻尖、Racon钻尖和螺旋面钻尖进行了优化，以使其切削力达到最小。
